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La copertina del libro
 27 Maggio, L'enigma dei numeri primi 

Un libro denso.
Non sono un matematico ma leggere di matematica mi appassiona moltissimo. In questo libro Marcus Du Sautoy ci racconta i numeri primi, ovvero quei numeri che sono divisibili solo per 1 e per se stessi.
Sono numeri speciali perchè ogni altro numero intero è costituito da numeri primi.
Per esempio, 21 = 3 X 7 è il prodotto dei due numeri primi 3 e 7. Ma sono numeri speciali soprattutto perchè la sequenza dei numeri primi sembra essere completamente casuale, a differenza ad esempio di quella dei numeri di Fibonacci, perfettamente prevedibile. Se abbiamo costruito la sequenza dei numeri di Fibonacci fino a n, allora saremo sempre in gradi di costruire il successivo numero di Fibonacci in un tempo velocissimo: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,... il successivo numero di Fibonacci qual è ? basta sommare i due numeri precedenti per ottenerlo. Ma riusciamo a fare la stessa cosa per la sequenza dei numeri primi ? 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,... Ci si accorge subito che conoscere la sequenza dei primi n numeri primi non permette di conoscere il successivo numero primo, l'n+1 esimo. Nessuno è mai riuscito a trovare un formula che generi il prossimo numero primo.
Ma perchè soffermarsi sull'imprevedibilità dei numeri primi ?
L'autore ce lo spiega in maniera davvero accattivante, prendendo il lettore per mano attraverso un viaggio fantastico tra i giganti della Matematica. Ci farà incontrare Euclide, il più grande matematico dell'antichità, che nei suoi Elementi, più di duemila anni fa, dimostrò l'esistenza di infiniti numeri primi. E poi Eulero, maematico del XVIII secolo, a cui si deve il famoso prodotto di Eulero che mette in relazione la funzione Zeta di Riemann e i numeri primi. Gauss il Principe dei matematici che riuscì a mettere in relazione i numeri primi col logaritmo naturale fornendo una stima del numero dei numeri primi minori o ugali a x. Il teorema di Gauss sulla stima dei numeri primi dice infatti che π(x) ∼ x/ln(x). La lista dei giganti è davvero ampia. Per ognuno di essi l'autore spiega il motivo che li spinse ad occuparsi di teoria di numeri ed in particolare di numeri primi. E allora ecco che ci imbatteremo nel timidissimo Riemann che fece un'ipotesi ancora non dimostrata che lega i numeri primi alla funzione zeta prima citata. Leggeremo di Hilbert che nel 1900, in occasione del Secondo Congresso Internazionale di Matematica propose 23 (numeri primo !!!) problemi, noti appunto col nome di Problemi di Hilbert, dei quali, l'ipotesi di Riemann risulta uno dei più difficili. E poi ancora Hardy, Littlewood, Erdos. Ramanujan, il matematico indiano ispirato dalla dea Namagiri che, autodidatta, ripercorse numerose tappe della teoria dei numeri tanto che Hardy lo volle con sè a Cambridge Il racconto si imbatte in numerose definizioni e storie di altrettanti matematici. Conosceremo i numeri primi di Mersenne definiti come 2p-1, con p primo. Impareremo che non tutti i primi p permettono di definire un primo di Mersenne, ad esempio se consideriamo il primo p = 11, si ha che 211-1 non è primo.
Il libro si sofferma in particolare sull'ipotesi di Riemann, ovvero sul paesaggio complesso della funzione zeta (tutti gli zeri cadono sulla retta critica, ovvero la retta che ha per parte reale 1/2). Riemann non riuscì a dimostrare la sua ipotesi ma calcolò personalmente la posizione dei primi di zeri confermando che giacevano tutti dove previsto. Molti provarono a dimostrare l'ipotesi di Riemann ma nessuno ci è ancora riuscito. Nel frattempo però i matematici affinarono i metodi per calcolare sempre più zeri, alla ricerca di almeno uno zero che non cadesse sulla retta critica. La ricerca di uno zero al di fuori della retta critica non ha ancora portato a nessun risultato. Con l'intervento del computer si sono trovati moltissimi zeri che confermano l'ipotesi di Riemann. Alain Turing, l'inventore delle omonime macchine di Turing riuscì, a calcolare la posizione di 1100 zeri, e tutti sulla retta critica. Bellissima la dissertazione sull'opera di Turing e Godel, quest'ultimo famoso per il teorema dell'incompletezza. Sì perchè i matematici vivono di dimostrazioni. Ma è davvero tutto dimostrabile ? Niente da fare: Godel dimostrò che, qualsiasi fossero gli assiomi scelti per la matematica, non sarebbe mai stato possibile usarli per dimostrare che non sarebbero mai sorte contraddizioni1. Fu un duro colpo per i matematici. Godel minò alla base l'intera impalcatura della Matematica. Hardy iniziò a nutrire dubbi sull'ipotesi di Riemann: se nessuno riesce a dimostrarla forse il motivo è che non è vera. Oggi, grazie ai computer e grazie a Internet si sono scoperti numerossisimi zeri che cadono sulla retta critica (1013)2.
Ma perchè l'ipotesi di Riemann è così importante ?
L'autore prova a spiegarlo. Anzi, sicuramente ce lo spiega ma per un non matematico quale sono io è difficile comprendere davvero: ad un certo punto mi devo fidare. Da quello che ho capito sembrerebbe che se l'ipotesi fosse vera allora i numeri primi avrebbero una armonia, una prevedibilità, difficile da trovare ma comunque possibile da trovare. Se invece fosse falsa allora si potrebbe confidare sul fatto che la distribuzione dei numeri primi sia totalmente casuale. Il motivo vero per il quale è importante sapere se i numeri primi rispondano o meno ad una regola è dovuto al fatto che il problema di fattorizzare un numero intero nei suoi primi costituenti è un problema difficilissimo, non risolvibile in tempi utili, proprio perchè non esiste (al momento non è conosciuta) una funzione che li generi. Oggi la sicurezza di Internet si basa proprio su questo fatto. La crittografia a chiave a pubblica utilizza come chiave un numero N che sia il prodotto di 2 numeri primi con più di 100 cifre. Se fosse semplice scomporre tale numero nei numeri primi costituenti, si potrebbe facilmente dedurre (mediante fattorizzazione di N) la chiave privata. L'algoritmo più famoso di criptazione (RSA) pone le sue basi proprio su questo fatto.
Il problema della fattorizzazione in numeri primi, da problema di matematica pura diviene dunque un problema di matematica applicata. Ed il libro di Sautoy è un meraviglioso viaggio nella storia di questa mistero.
Buona lettura.

Note

[1] Il testo da "Niente da fare" a "contraddizioni" è stato preso direttamente dal libro, pag. 329, capitolo "Macchine della Mente".
[2] http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/una-versione-elementare-della-congettura-di-riemann/



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